Equações e Sistemas do 2º grau - Exercícios (resolvidos)

1)     EX-01

André, Bento e Carlos têm, juntos, 41 anos. Calcular as idades de

cada um sabendo que Bento é três anos mais velho que André e

Carlos é quatro anos mais jovem que André.

2)     EX-02   (FUVEST)

São dados três números naturais a, b e c, com a < b < c.

Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um

quarto do maior. Se a – b + c = 30, então o valor de a + b + c será:

a) 45    b) 60    c) 900    d) 120    e) 150

3)     EX-03 (UNIFOR)

Um grupo de amigos comprou um presente por R$ 6300,00. Pretendiam dividir essa quantia entre si, em partes iguais. Como 2 membros do grupo não puderam cumprir o compromisso, cada um dos restantes teve sua parcela aumentada de R$ 360,00. O número de pessoas do grupo era, inicialmente,

a) 11    b) 10    c) 9    d) 8    e) 7

4)     EX-04  (UNICAMP)

O IBGE contratou um certo número de entrevistadores para realizar o recenseamento em uma cidade. Se cada um deles recenseasse 100 residências, 60 delas não seriam visitadas. Como, no entanto, todas as residências foram visitadas e cada recenseador visitou 102, quantas residências têm a cidade?

5)     EX-05 (UNI-RIO)

Num escritório de advocacia, trabalham apenas dois advogados e uma secretária. Como o Dr. André e o Dr. Carlos sempre advogam em causas diferentes, a secretária, Cláudia, coloca 1 grampo em cada processo do Dr. André e 2 grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que, ao todo, são 78 processos nos quais foram usados 110 grampos, podemos concluir que o número de processos do Dr. Carlos é igual a:

a) 64    b) 46   c) 40    d) 32   e) 28

6)     EX-06  (UNICAMP)

Um copo cheio de água pesa 385g; com 2/3 da água pesa 310g. Pergunta-se:

a) Qual é o peso do copo vazio?

b) Qual é o peso do copo com 3/5 de água?

7)     EX-07

Considere o sistema não-linear abaixo:

Então, o valor de x² + y ² é:

8)     EX-08

Resolver, em RxR , o seguinte sistema não-linear

9)     EX-09

Resolver em R as equações abaixo:

10)     EX-010

Resolver em R as seguintes equações:

Gabarito

1. André tem 14 anos, Bento tem 17 anos e Carlos tem 10 anos.

2. d

3. e

4. 3060

5. d

6.  a) 160g    b) 295g

7. d

8. V = {(28; 10); (4; -2)}

Soluções

1)     EX-01- Solução

Colocando as informações na tabela, temos que:

x + (x +3) + (x – 4) = 41 → 3x = 42 → x = 14

Logo:

André = 14 anos

Bento = 17 anos

Carlos = 10 anos

2)     EX-02- Solução

c = a + b (I)

a = c/4 (II)

a – b + c = 30 (III)

(I)  c = a + b → a = c – b = - b + c → a = - b +c

Em (III)

(-b + c) – b + c = 30 → 2c – 2b = 30 → c – b = 15

Então,

a = c – b = 15

(II)  a = c/4 → c = 4a → c = 60

(III) a – b + c = 30

(I) c = a + b → b = c – a = 60 – 15 = 45

Logo,

a + b + c = 15 + 45 + 60 = 120

3)     EX-03- Solução

x = número de amigos inicial

y = parcela de cada um = 6300/x

6300/(x-2) = y + 360

6300/(x-2) = 6300/x + 360 → 6300/(x-2) = 6300/x + 360x/x

6300/(x-2) = (6300 + 360x)/x → 6300x = (6300+360x)(x-2)

6300x = 6300x -2*6300 + 360x² - 2*360x → 360x² -2*360x -2*6300

x² - 2x – 35 = 0 → (x-7)(x+5) = 0  ↔ x=7, ou x=-5

Portanto,

O número inicial de amigos é: 7

4)     EX-04- Solução

x = número de entrevistadores

y = número de residências

100x + 60 = y

102x = y

Igualando as duas equações:

100x + 60 = 102x → 2x = 60 → x = 30 (entrevistadores)

Então,

y = 102x = 102*30 = 3060 → y = 3060 

5)     EX-05- Solução

x = processos André

y = processos Carlos

x + y = 78, (total de processos)

x + 2y = 110, (total de grampos)

Temos um sistema de equações:

Como quero saber quanto é o valor de y (=processos de Carlos), vamos subtrair membro a membro da seguinte forma:

6)     EX-06- Solução

x = peso do copo

y = peso da água (100%)

Peso do copo = x = 385 – y = 385 – 225 = 160 g

Peso do copo com 3/5 de água = x + (3/5)y = 160 + (3/5)*225 =

= 295 g

7)     EX-07- Solução

Elevando ambos os membros da equação x-y = 1, temos

(x-y)² = 1² → x² - 2xy + y² = 1 → x² + y² = 1 + 2xy

De outra equação dada: xy = 15/4

Logo: x² + y² = 1 + 2xy = 1 +2.15/4 = 17/2 → x² + y² = 17/2

8)     EX-08- Solução

y² - 8y – 20 = 0 →  (y-10)(y+2) = 0 ↔ y=10, ou y = -2 

y=10 → x = 8 + 2y = 8 + 2*10 = 28 → x = 28

y=-2 → x= 8 + 2*(-2) = 4 → x = 4

9)     EX-09- Solução

Existem várias maneiras de resolver as equações de 2º grau.

Por fatoração:

a) x² - 5x + 6 = 0 → (x-2)(x-3) = 0 → x’=2, x’’=3

b) 6x² - x – 1 = 0

Por Bhaskara:

x = (-b ± √∆)/2a

∆ = b²-4ac = 1-4*6*(-1) = 1+24 = 25

x’ = [-(-1) +5]/12 = 6/12 = 1/2

x’’ = [-(-1) -5]/12 = -4/12 = -1/3

c) x² + 4x +3 =0

Por fatoração:

x² + 4x + 3 = (x+1)(x+3) = 0 ↔ x’ = -1, x’’= -3

d) 6x² -13x + 6 = 0

Por Bhaskara:

∆ = b² - 4ac = 13² - 4*6*6 = 25 → √∆ = 5

x’ = [-(-13) + 5]/2*6 = 18/12 = 3/2 → x’ = 3/2

x’’ = [-(-13) – 5]/2*6 = 8/12 = 2/3 → x’’ = 2/3

e) 4x² - 12x + 9 = 0

Por Bhaskara:

∆ = b² - 4ac = (-12)² - 4*4*9 = 0

x’ = x’’ = [-(-12)+0]/2*4 = 12/8 = 3/2 → x = 3/2

f) x² + 4x + 4 = 0

Por fatoração:

(x+2).(x+2) = 0 → (x + 2)² = 0 → x = -2

g) 4x² - 4x + 2 = 0

Por Bhaskara:

∆ = b² - 4ac = (-4)² - 4*4*2 = 16 – 32 = - 16

Como ∆ é negativo, não existem raízes no campo R (reais)

  

h) x² - 2x + 5 = 0

Por Bhascara:

∆ = b² - 4ac = (-2)² - 4*1*2 = 4 – 8 = - 4

Como ∆ é negativo, não existem raízes no campo R (reais)

10)     EX-10- Solução

a) x² + 9 = 0 → x² = - 9

Não existe em R um número que elevado a dois resulte em um número negativo.

b) x² - 9 = 0 → x² = 9 → x = ± √9 → x = ± 3

c) 2x² - 5x = 0 → x(2x-5) = 0 ↔ x = 0, 2x-5 = 0

2x – 5 = 0 → x = 5/2

d) x.x = 7x → x.x – 7x = 0 → x(x-7) = 0 ↔ x = 0, x = 7

e) 3x² - 3 = 0 → x² - 1 = 0 → x² = 1 → x = ± 1