EXERCÍCIOS DE FÉRIAS - JULHO/2014 (resolvidos)

Aqui alguns exercícios resolvidos.

1)     EX-01

O tempo necessário para a desintegração da metade dos átomos radioativos, inicialmente presentes em qualquer quantidade de uma substância radioativa, recebe o nome de meia-vida, ou período de semidesintegração.  Como exemplo, podemos citar o cobalto-60, usado na medicina, que possui meia-vida de 5 anos.

a) Sendo m₀ a massa de cobalto-60, qual é a expressão algébrica que representa a massa dessa substância radioativa daqui a 80 anos?

b) Em janeiro de 2009, foi armazenado 256 g de cobalto-60.  Em que ano esse material passará a ter uma massa de apenas 16 g?

Solução:

a) Para qualquer material radioativo podemos escrever que a massa residual pode ser descrito pela seguinte expressão algébrica:

Onde:

            M (∆T) = massa residual em função do tempo decorrido

            Mo = massa inicial do material radioativo

            ∆T = tempo decorrido

            P = tempo de meia vida do material radioativo

            Resolvendo o problema:

            ∆T = 80 anos

            P = 5 anos

            Então, ∆T/P = 80/5 = 16

            Logo, a expressão que exprime a massa residual é:

b) Mo = 256 g  (2009)

M = 16 g  (em que ano ?)

P = 5

Sabemos que:

Então, 

16 = 256. (1/2) ^∆T/5

2⁴  = 2⁸  . 2 ^{- ∆T/5}   →  4 = 8 - ∆T/5   →  4 – 8 = - ∆T/5  

       – 4 = - ∆T/5   →   ∆T = 20

     

      Logo:

      2009 + 20 = 2029

      Resposta: 2029

2)     EX-02    FUVEST

A metade de 2²²  é:

Solução:

2²² / 2 = 2 ^(22-1)  = 2²¹

Resposta: 2²¹

3)     EX-03     FCMSCSP

 

Determine o valor da expressão:   

Solução:

(1/3 + 1/5) / (1/2)   =  [(5 + 3)/15] / (1/2)  =  8/15 * 2/1 = 16/15

Resposta: 16/15

4)     EX-04    MACK-SP

 

Determine o valor da expressão:   

Solução:

(25 – 9 + 1) / (1/9 + 1/5 + 1/2)  = 17 / (1/9 + 1/5 + 1/2)  = 

17 / [ (10 + 18 + 45) / 90]   =  17 / [73/90]  = 

17 * 90 / 73 =1530/73

Resposta:  1530/73

5)     EX-05   FGV-SP

Determine o valor da expressão:  ( 1/2 )^-3 + ( 1/2 )^-5

Solução:

( 1/2 )^-3 + ( 1/2 )^-5   = 2³ + 2⁵   = 8 + 32 = 40

Resposta: 40

6)     EX-06   OBM

Determine o valor da expressão:  20112011² + 20112003² - 16*20112007

Solução:

Fazendo  β = 20112007 e reescrevendo a expressão temos:

(β + 4)² + (β – 4)² - 16.β  =  β² + 8β + 16 + β² - 8β + 16 - 16β =

2β -16β + 32 = 2*(β² - 8β + 16) =  2(β – 4)² = 2*(20112007 – 4)² =

2*(20112003)²

Resposta: 2*(20112003)²

7)     EX-07  OBM

Colocar os números a=2⁴⁰, b=3²⁰ e c=7¹⁰ em ordem crescente.

Solução:

Vamos colocar todos os números para o mesmo expoente.

a=2⁴⁰   = 2^4.10 = (2⁴)¹⁰ = 16¹⁰ 

b=3²⁰ = 3^2.10 = (3²)¹⁰ = 9¹⁰

c=7¹⁰

Sabemos que para expoentes iguais quanto maior a base maior será o número.  Portanto,

c < b < a

8)     EX-08  UFPB

Se x é um número real não nulo, a = 2^x + 2^-x, b = 2^x – 2^-x e c = 4^x – 4^-x; então determine o valor da expressão  2ab/c.

2ab/c = 2.(2^x + 2^-x)*(2^x – 2^-x) / (4^x – 4^-x) =  

= 2.(2^x. 2^x - 2^x. 2^-x + 2^x. 2^-x  - 2^-x. 2^-x) / (2^2x – 2^-2x) =

= 2. (2^2x – 2^-2x) / (2^2x – 2^-2x) = 2

Resposta: 2

9)     EX-09  UEL

Efetue a seguinte expressão:

Solução:

9/4 + (2/1)² * 5/2 = 9/4 + 4/1 * 5/2 = 9/4 + 20/2 = 9/4 + 10 =

= (9+40)/4 = 49/4

Resposta: 49/4

10)     EX-10  OBM

Sejam x e y números reais positivos satisfazendo as equações

x² + y² = 1 e x⁴ + y⁴ = 17/18.  Calcule o valor de 1/xy.

Solução:

Vamos partir da equação x² + y² = 1, elevando ambos os membros por 2.

(x² + y²)² = 1²   →  x⁴ + 2x²y² + y⁴ = 1  →  x⁴ + y⁴ +2(xy)² = 1 e foi dado que x⁴ + y⁴ = 17/18;

Logo,

17/18 + 2(xy)² = 1 →  2(xy)² = 1 – 17/18  =  (18-17) / 18 = 1/18

2(xy)² = 1/18  → (xy)² = 1/ 36  →  xy = ±√ (1/36 = ±1/6

Como x e y são reais positivos:  xy = 1/6

Portanto: 1/xy = 6

Resposta: 6

11)     EX-11  UNITAU-SP

Qual é o valor da soma dos inversos dos quadrados das duas raízes da equação x² + x + 1 = 0 ?

Solução:

Vamos considerar que a e b sejam as raízes da equação dada. Então o que se pede é:

Se a e b são raízes, é verdadeiro escrever que:

(x-a).(x-b) = 0  →  x² - (a+b).x + a.b = 0 

Comparando com a equação dada, temos:

-(a+b) = 1  e  a.b=1

Vamos pegar a equação -(a+b) = 1 para manipulações algébricas:

-(a+b) = 1  →  (a+b) = -1  → (a+b)² = (-1)²  →  a²+2ab+b² = 1 →

a²+b²+2ab = 1 →  a²+b²+2.1 = 1 →  a²+b² = -1

Logo:

S = 1²/-1 = -1  →  S = -1 

Resposta: -1

12)     EX-12  CESGRANRIO

Determine a maior  raiz da equação -2x²+3x+5=0.

Solução: 

∆ = b²- 4ac = 9 – 4.(-2).5 = 49, então:  √∆ = 7, logo:

x’ = (-3+7)/2.(-2) = 4/-4 = -1

x’’ = (-3-7)/2.(-2) = -10/-4 = 5/2 = 2,5

Resposta: 2,5

13)     EX-13  FUVEST

Sejam x₁ e x₂ as raízes da equação 10x² + 33x – 7 = 0.  Determine o número inteiro mais próximo de 5x₁x₂ + 2(x₁+x₂).

Solução:

(x- x₁).(x- x₂) = x² - (x₁+x₂).x + x₁x₂  = 0

Comparando com a equação dada, temos:

- (x₁+x₂) = 33/10  →  (x₁+x₂) = - 33/10

x₁x₂  = - 7/10

Logo,

5x₁x₂ + 2(x₁+x₂) = 5.(-7/10) + 2.(-33/10) =  -101/10 = -10,1

Portanto, o inteiro mais próximo é -10

Resposta: -10

14)     EX-14  FUVEST

Determine a soma dos valores de m para os quais x=1 é raiz da equação x² + (1 + 5m – 3m²)x + (m² + 1) = 0.

Solução:

x = 1 →  1² + (1 + 5m – 3m²).1 + (m² + 1) = 0

-2m² + 5m + 3 = 0

m_1,2 = (- b ± √∆)/2a = (- 5 ± √ 5² - 4.(-2).3 )/2.(-2) = (-5 ± 7)/-4, então

m₁ = (-5 – 7)/-4 = 3

m₂ = (-5 +7)/-4 = -1/2

Logo: 

m₁ + m₂ = 3 + (-1/2) = 3 – 1/2 = 5/2

Resposta: 5/2

15)     EX-15  CEFET- PR

Seja a a raiz positiva e b a raiz negativa da equação 2x² - 7x – 15 =0.  Determine o valor de a+2b.

Solução:

Por Bhaskara, tem-se:

a = (-b+√b²-4ac)/2a = (+7 + 13)/4 = 20/4 = 5

b= (-b-√b²-4ac)/2ª = (7 -13)/4 = -6/4 = -3/2

Logo:

a+2b = 5 + 2.(-3/2) = 5 – 3 = 2

Resposta: 2

16)     EX-16  PUC-SP

Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo.  Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h=-25t²+625. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo?

Solução:

h=-25t²+625, para h=0, tem-se:

0 = -25t²+625  →  25t² = 625 →  t² = 25  →  t = 5 segundos (s)

Resposta: 5

17)     EX-17  UFC-CE

Determine o produto das raízes reais da equação 4x² - 14x + 6 = 0.

Solução:

Sejam a e b raízes da equação dada:

(x-a)(x-b) = x² -(a+b)x +ab = 0

A equação dada: 4x² - 14x + 6 = x² -(14/4).x + 6/4 = 0

Por comparação temos que (o produto das raízes):

ab = 6/4 = 3/2  →  ab = 3/2

Resposta: 3/2

Nota: Pode usar a fórmula de Bhaskara

18)     EX-18  UFV-MG

As medidas da hipotenusa e de um dos catetos de um triângulo retângulo são dadas pelas raízes da equação x² - 9x + 20 = 0.  Determine a área desse triângulo.

Solução:

Vamos fatorar o primeiro membro equação temos:

x² - 9x + 20 = (x-4).(x-5) = 0, logo, as raízes da equação são:

1) x-4 = 0 → x = 4

2) x-5 = 0 → x = 5

Em sendo um triângulo retângulo de hipotenusa = 5 e um dos catetos = 4, por Pitágoras: abemos que outro cateto = 3.

Logo a área deste triângulo é  S = b.h/2 = 3.4/2 = 6

Resposta: 6

19)     EX-19  VUNESP

Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão h(t) = 3t - 3t², onde h é a altura atingida em metros.

a)    Em que instante t o grilo retorna ao solo?

b)    Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?

Solução:

Vamos fazer o gráfico da posição do grilo em função do tempo:

Para t=0, h=0 (está no solo) e para t=1 (=tempo de subida + tempo de queda), h=0 (retorna ao solo). O ponto mais alto é o vértice da parábola: t=0,5 (tempo de subida), h=0,75.

Portanto,

a)    Retorna ao solo no instante t=1s

b)    A altura máxima = 0,75 m

20)     EX-20 

Em um mapa com escala 1:500 000 foi desenhada uma circunferência com raio de 4 cm.  Use π = 3 e calcule o comprimento aproximado dessa circunferência no mapa e na realidade.

Solução:

No mapa:  C_mapa=2.π.r = 2.3.4 = 24 cm

No real:  (como a escala é 1:500 000)

C_real = C_mapa . 500.000 = 24 * 500 000 = 12 000 000 cm = 120 Km