Ponto de Máxima e Mínima local por Derivada

Aplicação de derivada para calcular as coordenadas do vértice (máximo, ou mínimo) de uma parábola (equação do segundo grau)

A primeira derivada de uma função é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em cada ponto onde a derivada existe.

Teorema (Critério da Segunda Derivada): 

Se f é uma função que possui as duas primeiras derivadas contínuas sobre um conjunto S, teremos as situações abaixo:

1. Se f"(x) > 0 em algum ponto x de S, então o gráfico de f tem a concavidade (boca) voltada para cima nas vizinhanças de x.
2. Se f"(x) < 0 em algum ponto x de S, então o gráfico de f tem a concavidade (boca) voltada para baixo nas vizinhanças de x.

f’(x) = primeira derivada

f”(x) = segunda derivada

Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, tal que a sua derivada f' seja uma função contínua e vamos supor que f possui um ponto crítico x = c em S, isto é, f'(c) = 0.

1. Se f"(c) < 0 então x = c é um ponto de máximo para a função f.
2. Se f"(c) > 0 então x = c é um ponto de mínimo para a função f.

Exemplo ilustrativo:

As funções f(x) = x² e g(x) = 1 – x², definidas no intervalo S = [-2, 2] possuem pontos críticos em x = 0.  Sendo f”(0) = 2 > 0 e g”(0) = ‒ 2 < 0. Pelo critério da segunda derivada, x = 0 é ponto de mínimo local para f e ponto de máximo local para g.

Procedimento prático para obter as derivadas

Seja um polinômio de segundo grau genérico f(x) = ax² + bx +c, vamos calcular a primeira e a segunda derivada. 

Exemplo ilustrativo:

Calcular a primeira e a segunda derivada do seguinte polinômio de segundo grau f(x) = 2x² + 5x + 8.

Solução:

f(x) = 2x² + 5x + 8

f’(x) = 4x + 5 (= primeira derivada)

f’’(x) = 4 (= segunda derivada)

Cálculo das Coordenadas do Vértice de uma Parábola

A coordenada x do vértice é a média aritmética das raízes, em outras palavras, a soma das raízes dividido por dois.

Sabendo o valor de x_v, para calcular o y_v, basta substituir o valor de x_v, na função f(x).

Seja a função geral do segundo grau f(x) = ax² + bx + c.  Então substituindo todos os x pelo valor de x_v, temos:

Nota: ∆ = fórmula de Báskara.

Primeira Derivada para Calcular a Abscissa do Vértice

Seja função genérica do segundo grau: f(x) = ax² + bx + c.

Então, a sua primeira derivada é:

f’(x) = 2ax + b

Igualando a zero, temos: 

Obtido x_v, para calcular o y_v, basta calcular f(x_v) que é a ordenada do vértice y_v.

Portanto,

As coordenad as do vértice é igual à: {x_v (primeira derivada igual a zero), f(x_v)}.