FUVEST-Trigonometria-Ex.Resolvidos-1

EX-01 (FUVEST 2010)

Sejam x e y dois números reais, com 0 < x <π/2 e π/2 < y < π, satisfazendo seny = 4/5 e 11 sen x + 5 cos(y – x) = 3.  Nessas condições, determine

a) cos y

b) sen 2x

Solução

a) Sabemos (Identidade fundamental da trigonometria) que:
   

Então,

Logo:

Pois,  ( π/2 < y < π) o y está no 2º quadrante.

b) 

Calculando o senx, da identidade fundamental da trigonometria:

Como 0<x<π/2, então senx não pode ser zero, logo: senx = 5/13.

Portanto,

Temos todos os dados para calcular sen 2x:

EX-02 (FUVEST 2009)

Seja x no intervalo ] 0, π/2 [ satisfazendo a equação tgx + (2/√5)*secx = 3/2.  Assim, calcule o valor de:

a) secx

b) sen(x+π/4)

Solução

a)

Elevando ambos os membros por 2, temos:

De identidade fundamental da trigonometria, temos:

Igualando as equações (1) e (2), temos:

Aplicando Báskara, temos:

b)

Temos adição de arcos, então sabemos que:

Então,

Temos que calcular os valores de senx e cosx.

De resultado do item anterior, podemos calcular o valor do cosx:

De identidade fundamental da trigonometria, temos o valor de senx:

Agora temos todos os valores para responder o item b:

EX-03 (FUVEST 2008)

A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz π/2 < x < π e verifica a equação senx + sen2x + sen3x = 0.  Assim,

a) determine x;

b) calcule cosx + cos2x + cos3x.

Solução

b)

EX-04 (FUVEST 2007)

Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação 5cos2x+3senx=4.  Determine os valores de senx e cosx.

Solução

De identidade fundamental da trigonometria, temos o valor de cosx:

EX-05 (FUVEST 2005)

Determine todos os valores de x pertencentes aos intervalos [0, 2π] que satisfazem a equação cos²2x = ½ - sen²x.

Solução

Aplicando Báskara para resolver a equação do segundo grau, temos

Determinando todos os valores de x no intervalo [0, 2π]:

y₁ = 1/2

y₂ = 1/4

Resposta: 

EX-06 (FUVEST 2003)

Determine os valores de x no intervalo ]0,2π[ para os quais cosx ≥ √3.senx+ √3.

Solução

Reescrevendo e aplicando o conceito de adição de arcos, temos:

Visualizando no círculo trigonométrico, onde k é inteiro, temos:

Então podemos escrever que:

Do enunciado temos que (0 < x < 2π), sendo assim k = 1. Portanto, tem-se:

Resposta:

EX-07 (FUVEST 2002)

Determine as soluções da equação (2cos²x + 3senx)(cos²x – sen²x) = 0 que estão no intervalo [0, 2π].

Solução

Resolvendo a equação (1), temos:

Resolvendo a equação (2), temos:

Resposta:

EX-08 (FUVEST 2001)

a) Calcule cos3θ em função de senθ e cosθ

b) Calcule sen3θ em função de senθ e cosθ

c) Para 0 < θ < π/2, resolva a equação

sen²θ + 1/2.cosθ + 1 = sen3θ/senθ – cos3θ/cosθ

Solução

a)

b) 

c)

EX-09 (FUVEST 2000)

Determine os números reais x e y, com 0 ≤ x +y ≤ 2π e 0 ≤ y ≤ π, tais que 

Solução

De segunda equação do sistema de equações apresentado, temos:

De primeira equação do sistema e algumas manipulações para obter o cos²x, temos:

(2) em (1), temos:

Aplicando Báskara, temos:

Calculando os valores de x: