Matemática9 - ThiagoKYamamoto: Lei dos senos e cossenos

EX-01

O mostrador do relógio de uma torre é dividido em 12 partes iguais (horas), cada uma das quais é subdividida em outras 5 partes iguais (minutos). Se o ponteiro das horas (OB) mede 70cm e o ponteiro dos minutos (OA) mede 1m, qual será a distância AB , em função do ângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 horas e 12 minutos?

Solução:

Quando o relógio marca exatos 1 hora, o ângulo entre os ponteiros (menor e maior) é 30º. Portanto, o houve um deslocamento de 30º do ponteiro pequeno em relação à nossa referência indicado na figura.

Quando o ponteiro grande (minutos) chega à marca de 12 minutos, ele terá se deslocado:

Enquanto que, durante os mesmos 12 minutos, o ponteiro pequeno (horas) andou de y graus:

Resumindo:

O ponteiro grande andou: 72º

O ponteiro pequeno andou: 30 + 6 = 36º

Portanto, o ângulo formado entre os ponteiros às 1 hora e 12 minutos é:

xº = 72 – 36 = 36º

Podemos observar que temos um triângulo AOB, sendo que o lado AB está oposto ao ângulo formado entre os ponteiros. Logo para calcular o valor do lado AB, basta aplicar a lei dos cossenos:

Reposta: A distância AB = 6 metros

EX-02

Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura a seguir:

a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N.

b) Calcule o comprimento do segmento NB.

Solução:

a) Tomando o ∆ANB e aplicando a lei dos senos, tem-se:

b) No triângulo ∆BCN, retângulo em N, tem-se:

No triângulo ∆ANB a soma dos ângulos internos é 180º, logo:

Portanto, pela lei dos senos:

Obtivemos que:

EX-03 (UNICAMP)

Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo CÂB = 30º. Determinar o comprimento do segmento CE.

Solução:

Completando o desenho com os dados informados e preparando convenientemente, para os cálculos:

∆BCP:

Aplicando a Lei dos Senos para calcular o lado BC:

Como o ∆BEQ possui metade das dimensões do ∆BCP:

∆BCE:

Aplicando a Lei dos Cossenos para calcular o segmento CE:

EX-04 (ITA-2011)

Num triângulo AOB o ângulo AÔB mede 135° e os lados AB e OB medem √2 cm e √( 2 - √3) cm, respectivamente. A circunferência de centro em O e raio igual à medida de OB intercepta AB no ponto C (≠ B).

a) Mostre que OÂB mede 15°.

b) Calcule o comprimento de AC

Solução:

a) Aplicando a lei dos senos ao ∆ABO, temos:

Vamos calcular o sen(15º):

Elevando ambos os membros por 2, temos:

Portanto, está provado que o ângulo α = 15º → OÂB = 15º

b) Soma dos ângulos internos do triângulo ∆ABO, temos:

O triângulo ∆OCB é isósceles e sabemos que:

Pela soma dos ângulos internos, temos:

Este resultado implica que o triângulo ∆ACO é também isósceles, pois o ângulo AÔC = 135º - CÔB = 135º - 120º = 15º, logo, OÂC = AÔC = 15º.

Portanto,

EX-05 (UNESP 2013)

Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80 Km e 160 Km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.

Com essas informações, os alunos determinaram a distância (em KM), em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba.

Solução:

O triângulo ∆KCS é equilátero, portanto temos:

Logo, o ângulo KSG no triângulo ∆KSG é igual à:

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ∆KSG, temos:

EX-06 (FUVEST 2011)

No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB, N é o ponto médio de BC e MN = √14/4. Calcular a distância DM.

Solução:

Aplicando a lei dos cossenos no triangulo ∆BMN, temos:

Observamos que (α+β) = 180º, portanto, são suplementares; logo:

E o ângulo β = DÂM no triângulo ∆ADM

Aplicando, novamente, a lei dos cossenos no triângulo ∆ADM, temos:

EX-07

Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha até o topo, representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40º do acampamento B e de 60º do acampamento A. Dado: sen20º=0,342

Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizando segundo um ângulo de 30º em relação à base da montanha, então, determine a distância entre B e D, em m.

Solução:

Colocando os dados na figura, temos:

Aplicando a lei dos senos no triângulo ∆ABD, temos:

EX-08

A figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a altura do prisma mede 10 cm.

a) Calcule o volume do prisma.

b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A’.

Solução:

a) O volume do prisma é dado pelo produto entre a área do polígono da base e a sua altura. Assim, o seu volume V, em centímetros cúbicos, é tal que:

O polígono da base é um hexágono regular. Relembrando o calculo de área de um hexágono:

Logo, volume do prisma é:

b) A secção desse prisma pelo plano α, que passa pelos pontos A, C e A’, é o retângulo ACC’A’, cuja altura AA’ mede 10 cm e cuja base CA pode ser calculada da seguinte maneira:

Aplicando a leis dos cossenos:

Logo, a área da secção é:

EX-09

Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km.