Lei dos senos e dos cossenos

Demonstração da Lei dos senos:

O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo.

Demonstração:

Vamos tomar um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r.
A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D.  Ligando D a C formamos um novo triângulo BCD retângulo em C.
Da figura, podemos perceber também que os ângulos A e D iguais porque enxergam na circunferência a mesma corda BC.

Temos então:

Em triângulo retângulo, seno = cateto oposto/hipotenusa, logo temos que:

Da mesma forma podemos fazer, para os vértices C e B:

Logo:

Como queríamos demonstrar (c.q.d)

Demonstração da Lei dos cossenos:

Em um triângulo qualquer é verdade que: o quadrado de um dos lados é igual à: soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles.

Demonstração:

Na figura acima podemos observar que temos 3 triângulos ABC, BCD e ABD.

Também, temos que: b = m₁ + m₂  (1)   e   

 (2)

Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos BCD e ABD, temos que:

Como (1)  b = m₁ + m₂  →  m₂ = b – m₁   e   

(4) c² = h² + m₁²   →  h² = c² - m₁²

Substituindo em (3), temos:

(3) a² = h² + m₂²  → a² = (c² - m₁²) + (b – m₁)²

→ a² = c² - m₁² + b²-2bm₁ + m₁²  → a² = b² + c² -2bm₁

Como

Então, a² = b² + c² - 2.b.m₁ →  

Da mesma forma: podemos observar que temos 3 triângulos ABC, BCF e ACF.

Também, temos que: c = k₁ + k₂  (5)    e  

(6)

Aplicando o Teorema de Pitágoras triângulos ABE e ACE, temos que: 

Substituindo em (8), temos:

(8)   b² = s² + k₂²   →  b² = (a² - k₁²) + (c – k₁)² = 

a² - k₁² + c² -2ck₁ + k₁²  →  b² = a² + c² - 2ck_{1 ,}  como 

Então,

Da mesma forma: podemos observar que temos 3 triângulos ABC, ACE e ABE.

Temos que: a = n₁ + n₂  (9)  e 

 (10)

Teorema de Pitágoras nos triângulos ACE e ABE:

Substituindo em (12), temos:

(12)    c² = n₂² + t²  →  c² = (a - n₁)² + b² - n₁²  = 

a² - 2an₁ + n₁² + b² - n₁²  → c² = a² + b² - 2.a.n₁, 

como

Então,