segunda-feira, 9 de abril de 2018

FUVEST-Geometria Plana-Ex.Resolvidos


Ex-01 (FUVEST 2000)
Considere os pontos A=(-2,0), B=(2,0), C=(0,3) e P=(0,α), com 0 < α < 3. Pelo ponto P, traçamos as três retas paralelas aos lados do triângulo ABC.



(a) Determine, em função de α, a área da região sombreada na figura.

(b) Para que valor de α essa área é máxima?


Solução:
a)
Redesenhando convenientemente, temos:


Observando a figura, temos:

1) O triângulo ABC é isósceles.

2) O quadrilátero CHPI é um losango cujo diagonal menor HI (=d) e diagonal maior CP (=D). Portanto, a área é calculada da seguinte forma:


Ainda podemos observar que os segmentos FP e HI são iguais (FP=HI).

3) Os quadriláteros PEAG e PFBD são iguais e paralelogramos cujas bases são EA e DB respectivamente e altura de ambos são PO. 


4) Os triângulos BMC e DMP são semelhantes, então podemos calcular a base do paralelogramo de seguinte maneira:



5) Os triângulos BMC e FPC são semelhantes, então podemos calcular a diagonal menor do losango de seguinte maneira:
Da figura temos que  (FP) = (HI).



Redesenhando, temos:


A área A correspondente à parte sombreada é igual a:




b)
O valor de α para área máxima é a abscissa do vértice.
Como o coeficiente de α² é negativo, a parábola tem a concavidade virada para baixo:


O valor de alfa do vértice pode ser obtido igualando a primeira derivada da expressão de área à zero.




Ex-02 (FUVEST 2000)

No quadrilátero ABCD da figura a seguir, E é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE mede 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se ainda que AB = CD = √3 e BC = 1. Determine a medida de AD.


Solução:

Como foram dados os valores dos lados BC e CD e que estes segmentos são perpendiculares, podemos traçar o segmento auxiliar BD formando um triângulo retângulo em C. O segmento BD divide o quadrilátero em dois triângulos.


Vamos calcular o valor do ângulo θ (=ângulo DBC).


Como o ângulo θ = 60º, então o ângulo EBD = 90º - 60º = 30º, portanto o triângulo ABD é também retângulo.

Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:



Resposta: A medida de AD = 7




Ex-03 (FUVEST 2001)
Um agricultor irriga uma de suas plantações utilizando duas máquinas de irrigação. A primeira irriga uma região retangular, de base 100m e altura 20 m, e a segunda irriga uma região compreendida entre duas circunferências de centro O e de raios 10 m e 30 m. A posição relativa dessas duas regiões é dada na figura.

Onde A e B são os pontos médios das alturas do retângulo. Sabendo-se ainda que os pontos A, B e O estão alinhados e que BO =20 m, determine

(a) a área da intersecção das regiões irrigadas pelas máquinas;

(b) a área total irrigada.

Utilize as seguintes aproximações: 2 = 1,41; π = 3,14 e arcsen(1/3) = 0,340 rad.


Solução:


Para calcular a intersecção das regiões irrigadas, pela figura, temos:

Área do quadrilátero CDEF somado ao resultado da área do setor circular COD subtraído pela área do triângulo COD.



Sejam
S1 = área do setor circular COD;
S2 = área do triângulo COD;
S3 = área do quadrilátero CDEF;
SI = área correspondente à intersecção das regiões irrigadas.
ST = área total irrigada



Calculando S1 (Setor circular COD):



Calculando S2 (Triângulo COD):



Calculando S3 (Retângulo CDEF):



Portanto, temos que:

a) A área da intersecção das regiões irrigadas é dada por:




b) A área total ST é a soma da área da região retangular (20 x 100), somada a área da coroa circular de raios (10 e 30), subtraída da área de intersecção.





Ex-04 (FUVEST 2002)
O triângulo retângulo ABC, cujos catetos AC e AB medem 1 e √3, respectivamente, é dobrado de tal forma que o vértice C coincida com o ponto D do lado AB. Seja MN o segmento ao longo do qual ocorreu a dobra. Sabendo que NDB é reto, determine

(a) o comprimento dos segmentos CN e CM;




(b) a área do triângulo CMN.


Solução:





Os triângulos CNM e DMN são côngruos, pois o triângulo ABC é dobrado ao longo de MN de modo que C coincide com D.

Assim,



No ponto D, temos que:



Podemos concluir que:



Em um losango temos todos os lados iguais: CM = CN = DM = DN.
a)



b)


A altura de um triângulo eqüilátero é calculada da seguinte forma:


A área do triângulo CMN:





Ex-05 (FUVEST 2002)
Na figura abaixo, as circunferências C1 e C2, de centros O1 e O2, respectivamente, se interceptam nos pontos P e Q. A reta r é tangente a C1 e C2; a reta s passa por O1 e O2 e β é o ângulo agudo entre r e s. Sabendo que o raio de C1 é 4, o de C2 é 3 e que o senβ=1/5, calcule:



(a) a área do quadrilátero O1QO2P;

(b) senα, onde α=QO2P.



Solução:

Desenhando conforme as informações dadas, temos:




No triângulo retângulo AO1O2, temos:



Como O1O2 = 5, O1P = 4 e O2P = 3, temos que (O1O2)² = (O1P)² + (O2P)² que é uma condição para um terno pitagórico. Logo ∆PO1O2 é um triângulo retângulo em P.

Portanto,

a)
A área do quadrilátero O1QO2P é:




b)
No triângulo ∆PO1O2, tem-se:




Então:





Ex-06 (FUVEST 2003)
Na figura ao lado, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O segmento RM é perpendicular a PQ e RM = (4√3/3). Calcule:


(a) O raio da circunferência.

(b) A medida do ângulo POQ, onde O é o centro da circunferência.


Solução:



O triângulo ∆MQR é retângulo em M, então, podemos escrever que:



No triângulo ∆MQR, se α = 30º, então β = MRQ = 60º (pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º).

O triângulo ∆ROQ é isósceles, então, os ângulos ORQ e RQO possuem valores iguais. Assim, tem-se: ORQ = RQO = α = 60º.

Logo, no triângulo ∆ROQ temos que: ORQ + RQO + ROQ = 180º, então, ROQ = 60º. Logo o triângulo ∆ROQ é eqüilátero. Portanto, os lados OR = OQ = RQ.



a)
Aplicando Pitágoras no ∆MQR:



b)





Ex-07 (FUVEST 2003)
Na figura ao lado, as circunferências têm centros A e B. O raio maior é 5/4 do raio da menor; P é um ponto de intersecção delas e a reta AQ é tangente à circunferência menor no ponto Q. Calcule:

















(a) cosABQ

(b) cosABP

(c) cosQBP



Solução:


a)
De enunciado:
 

O triângulo ABQ é retangular em Q, então:




b)



Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABP, tem-se:



c)




Ex-08 (FUVEST 2003)
No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado AD; N está sobre o lado BC e 2BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB.



Solução:


Seja o ponto P médio de BC, então, tem-se:

A área do quadrilátero ABNM é igual à diferença entre as áreas do trapézio ABPM e do triângulo NPM; e a área do quadrilátero CDMN é igual à soma das áreas do trapézio MPCD e do triângulo NPM:




Ex-09 (FUVEST 2004)
Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB=5, BC=4 e AC=2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN.



Solução:



Pelo Teorema da bissetriz Interna


Lei dos cossenos no triângulo ∆ABC.


Também, temos cosα através do triângulo ∆CNA:


Portanto,




Ex-10 (FUVEST 2004)
A figura abaixo representa duas polias circulares C1 e C2 de raios R1 – 4 cm e R2 = 1 cm, apoiadas em uma superfície plana em P1 e P2, respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P1 e P2 é 3√3, determinar o comprimento da correia.

Solução:







Assim, o arco P2Q2 tem a medida angular igual a:


Como


o arco Q1P1 tem a medida angular igual a:



Logo, a correia é formada pelos segmentos P1P2 e Q1Q2 e pelos arcos P2Q2 e P1Q1. Portanto, o comprimento (c) da correia é igual a:




Ex-11 (FUVEST 2004)
Na figura ao lado, cada uma das quatro circunferências externas tem o mesmo raio r e cada uma delas é tangente a outras duas e à circunferência interna C. Se o raio de C é igual a 2, determinar












(a) o valor de r;

(b) a área da região hachurada.


Solução:



a)
Podemos expressar a medida do segmento O1O3 de seguintes formas:



Comparando (1) e (2), temos,



b)
A área da região hachurada é igual à:

Área do quadrado O1O2O3O4, subtraído a área do círculo de raio 2 e área correspondente à 4 setores circulares de raio r e ângulo de 90º:





Ex-12 (FUVEST 2005)
















Na figura acima, as 12 circunferências têm todas o mesmo raio r; cada uma é tangente a duas outras e ao quadrado. Sabendo-se que cada uma das retas suporte das diagonais do quadrado tangencia quatro das circunferências (ver figura) e que o quadrado tem lado 2√7, determinar r.


Solução:

Completando o desenho com as informações dadas e fazendo uma revisão conveniente para resolver o problema, temos:



Calculando o x:




Seja o lado do quadrado L = 2√7, então temos:




Ex-13 (FUVEST 2006)
Na figura abaixo, O é o centro da circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o ângulo β mede 60º e senα = √3/4.



(a) Determine senOÂB em função de AB.
(b) Calcule AB.

Solução:


Se AB é secante, então o ∆BCO é isósceles e como β = 60º, então, o triângulo ∆BCO é eqüilátero.

a)
Pela lei dos senos, temos:


b)



Logo, temos que:




Ex-14 (FUVEST 2006)
No paralelogramo ABCD abaixo, tem-se que AD = 3 e DÂB = 30º. Além disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo DÂB.
(a) Calcule AP.
(b) Determine AB sabendo que a área do quadrilátero ABCP é 21.



Solução:
Sabemos que: Paralelogramos são figuras geométricas que possuem apenas quatro lados, sendo os lados opostos paralelos e medidas iguais. Como todo quadrilátero, a soma dos ângulos internos é de 360º. Possui duas diagonais que se cruzam no ponto médio e os ângulos opostos possuem medidas iguais. 


a)
Pela Lei dos Cossenos, temos:



Neste caso, podemos obter a mesma resposta, porém, de outra aparência; vamos fazer algumas manipulações algébricas:


Por comparação, temos:


Assim, temos:



b)
A área do quadrilátero ABCP (que é trapézio) é igual 


No triângulo BCH, tem-se:


Então, temos:





Ex-15 (FUVEST 2007)
Na figura abaixo, os segmentos AB e CD são paralelos, o ângulo OAB mede 120º, AO = 3 e AB = 2. Sabendo-se ainda que a área do triângulo OCD vale 600√3.

(a) calcule a área do triângulo OAB.
(b) determine OC e CD.


Solução:


a)
A área do ∆OAB é:




b)
Considerando que o ponto O seja a intersecção dos segmentos AC e BD e como AB e CD são paralelos, então, os triângulos OAB e OCD são semelhantes.


A razão de semelhança é:




A razão entre áreas é:




Assim, temos:





Ex-16 (FUVEST 2007)
A figura representa um trapézio ABCD de base AB e CD, inscrito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézio. Sabe-se que AB = 4, CD = 2 e AC = 3√2.




(a) Determine a altura do trapézio.

(b) Calcule o raio da circunferência na qual está inscrito.
(c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência.


Solução:



a)

O trapézio ABCD é isósceles, pois, m(C) = m(D), m(A) = m(B) e AB é paralelo a CD.

Então, temos:


Pitágoras no ∆ACH, temos:


b)




Considerando r o raio do círculo, então temos:
Pela lei dos senos:



c)
A área da região solicitada é a diferença entre a área do circulo de raio r = √5 e a área do trapézio ABCD, então,





Ex-17 (FUVEST 2008)
No triângulo ABC, tem-se que AB > AC, AC = 4 e cosC = 3/8. Sabendo-se que o ponto R pertence ao segmento BC e é tal que AR = AC e BR/BC = 4/7, calcule

(a) a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC.
(b) a área do triângulo ABR.


Solução:



a)


Por Pitágoras no ∆ACH, tem-se:




b)






Ex-18 (FUVEST 2008)
O círculo C, de raio R, está inscrito no triângulo eqüilátero DEF. Um círculo de raio r está no interior do triângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois lados do triângulo, conforme a figura.



Assim, determine


(a) a razão entre R e r.
(b) a área do triângulo DEF em função de r.


Solução:


a)
Os triângulos AFO e BFP são retângulos e semelhantes, então, temos:



b)
Por Pitágoras no triângulo ∆DFM; tem-se:





Ex-19 (FUVEST 2009)
Na figura ao lado, a reta r tem equação y = 2√2x + 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta r, sendo B0 = (0,1). Os pontos A0, A1, A2, A3 estão no eixo Ox, com A0 = O = (0,0).  O ponto Di, pertence ao segmento AiBi, para 1 ≤ i ≤ 3. Os segmentos A1B1, A2B2, A3B3 são paralelos ao eixo Ou, os segmentos B0D1, B1D2, B2D3 são paralelos ao eixo Ox, e a distância entre Bi e Bi+1 é igual a 9, para 0 ≤ i ≤ 2.





Nessas condições:

(a) Determine as abscissas de A1, A2, A3.

(b) Sendo Ri, o retângulo de base AiAi+1 e altura Ai+1Di+1, para 0 ≤ i ≤ 2, calcule a soma das áreas dos retângulos R0, R1 e R2.


Solução:







a)

O coeficiente angular da reta r:



Por Pitágoras:



Portanto, as abscissas de A1, A2 e A3 são:



b)





Ex-20 (FUVEST 2009)
Na figura, estão representadas a circunferência C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:
(1) O ponto O pertence ao segmento PQ.
(2) OP = 1, OQ = √2.
(3) A e B são pontos da circunferência, AP PQ e BQ PQ.


Assim sendo, determine:
(a) A área do triângulo APO.
(b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.
(c) A área da região hachurada.



Solução:


a)






Por Teorema de Pitágoras, tem-se:


Assim,




b)
No triângulo ∆AOP:



No triângulo ∆BOQ:



Então temos que:



Calculando o comprimento dos arcos:







c)
A área da parte hachurada é:







Ex-21 (FUVEST 2009)
O triângulo ABC da figura ao lado é equilátero de lado 1. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados AB, AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulos AFE e CGF são retos e a medida do segmento AF é x. Assim, determine:


(a) A área do triângulo AFE em função de x.
(b) O valor de x para o qual o ângulo FÊG também é reto.


Solução:



a)
A área do triângulo retângulo AEF é:



b)
No triângulo retângulo CFG, temos:


No triângulo retângulo EFG, temos:





Ex-22 (FUVEST 2010)
No triângulo ABC da figura, a mediana AM, relativa ao lado BC, é perpendicular ao lado AB. Sabe-se também que BC = 4 e AM = 1. Se α é a medida do ângulo ABC, determine:


(a) senα;
(b) o comprimento AC;
(c) a altura do triângulo ABC relativa ao lado AB;
(d) a área do triângulo AMC.


Solução:

a)



b)
Os triângulos ∆ABM e ∆BCH são semelhantes, portanto, temos:



Também, podemos escrever que:


Por comparação, temos:



Por semelhança de triângulos temos:



Por Pitágoras, temos:


c)
Do item anterior (b), temos:



d)
Se senα = 1/2, então, α = 30º, logo θ = 60º. Então, β = 120º.

Portanto, temos:






Ex-23 (FUVEST 2011)
As circunferências C1 e C2 estão centradas em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e r2 = 12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma reta t é tangente a C1 no ponto P1, tangente a C2 no ponto P2 e intercepta a reta O1O2 no ponto Q. Sendo assim, determine

(a) o comprimento P1P2;
(b) a área do quadrilátero O1O2P2P1;
(c) a área do triângulo QO2P2.

Solução:



a)
Por Pitágoras no triângulo ∆AO1O2, temos:



b)
O quadrilátero O1O2P2P1 é um trapézio, então, temos:



c)
Os triângulos ∆QO2P2 e ∆O1O2A são semelhantes, então, temos:





Ex-24 (FUVEST 2012)


No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede √15/5, o ângulo interno de vértice C mede α, e o ângulo interno de vértice B mede α/2. Sabe-se, também, que 2cos(2α)+3cosα+1=0.

Nessas condições, calcule

a) o valor de senα
b) o comprimento do lado AC.


Solução:

a)
Sabemos que: cos(2α) = 2cos²α ‒ 1 e seja 2cos(2α)+3cosα+1=0, temos:



b)
A figura com os dados do enunciado:


Traçando a bissetriz do ângulo BCA, temos:


1 - O triângulo ∆BCD é isósceles.
2 - Os triângulos ∆ABC e ∆ACD são semelhantes.


∆BCD

Aplicando lei dos cossenos, temos:


∆ABC e ∆ACD


Assim, podemos escrever que:




Ex-25 (FUVEST 2012)


Na figura, a circunferência de centro O é tangente à reta CD no ponto D, o qual pertence à reta AO. Além disso, A e B são pontos da circunferência, AB = 6√3 e BC = 2√3. Nestas condições, determine

a) a medida do segmento CD;
b) o raio da circunferência;
c) a área do triângulo AOB;
d) a área da região hachurada na figura.


Solução:


a) Aplicando o Teorema da Secante-Tangente, temos:



b) O triângulo ACD é retângulo em D, portanto, pela aplicação do Teorema de Pitágoras, temos:



c) Seja BH a altura do triângulo ∆AOB em relação ao lado AO. Assim, os triângulos ∆ABH e ∆ACD são semelhantes, então temos:

 

Portanto, a área do ∆AOB é:



d)

 

Assim, β = 120º, então,





Ex-26 (FUVEST 2013)
Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém- percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado.  As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A’, B’, C’ e D’, de modo que os novos segmentos sejam, então, AA’, BB’, CC’ e DD’.  Dado que AB = 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do


a) paralelogramo ABCD;
b) triângulo BB’C’;
c) quadrilátero A’B’C’D’.


Solução:

a)
A distância do ponto D ao lado AB fornecida é a altura do paralelogramo, então:




b)
Como conhecemos a área do paralelogramo ABCD, se desenhar paralelogramos côngruos ao seu redor podemos calcular facilmente as áreas solicitadas nos itens b e c.  



A área do ∆BB’C’ é a metade da área do quadrilátero BB’PC’, sendo esta é igual ao dobro da área do paralelogramo ABCD, logo:



c)
Pela figura, temos:






Ex-27 (FUVEST 2013)
Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão.











Na figura, os pontos O, P1 e P2 representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do guindaste.   O braço OP1 tem comprimento 6 e o braço P1P2 tem comprimento 2. Num dado momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma altura menor do que P1 e a distância de O a P2 é 2√10. Sendo Q o pé da perpendicular de P2 ao plano do chão, determine


a) o seno e o cosseno do ângulo P2OQ entre a reta OP2 e o plano do chão;
b) a medida do ângulo OP1P2 entre os braços do guindaste;
c) o seno do ângulo P1OQ entre o braço OP1 e o plano do chão.


Solução:


a)
Pela figura temos que:



Pela relação fundamental de trigonometria, temos o valor do cosseno de α:



b)
Pela Lei dos Cossenos no ∆OP1P2, temos:

 


c)
Como β=90º, então os triângulos ∆OP1P2 e ∆OP2Q são congruentes, logo OQ = 6.

Ou pela aplicação de Pitágoras no ∆OP2Q, temos:





Ex-28 (FUVEST 2014)
Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura ao lado. A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento PR, e o ângulo agudo formado por PR e L mede 60º. A bola branca atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L.  Sua trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo agudo θ com o segmento PR e o mesmo ângulo agudo α com lado L antes e depois da reflexão. Determine a tangente de α e o seno de θ. 


























Solução:


Pela figura, temos que:

1) O triângulo ∆PRP’ é isósceles.
2) O pontos Q e Q’ são pontos médios de PR e RP’ respectivamente, então o ponto S é o baricentro do triângulo  ∆PRP’, logo RS = 2SM  (1).
3) No triângulo ∆RPM,




Calculando a tangente de α no triângulo ∆PSM:



Aplicando a Lei dos Senos no triângulo ∆RSQ, temos:





De triângulo ∆PSM:



Para determinar o valor PS, pelo teorema de Pitágoras, temos:








Ex-29 (FUVEST 2014)
Considere o triângulo eqüilátero ∆A0OB0 de lado 7 cm.



a) Sendo A1 o ponto médio do segmento A0B0 e B1 o ponto simétrico de A1 em relação à reta determinada por O e B0, determine o comprimento de OB1.

b) Repetindo a construção do item (a), tomando agora como ponto de partida o triângulo ∆A1OB1, pode-se obter o triângulo ∆A2OB2 tal que A2 é o ponto médio do segmento do segmento A1B1, e B2 o ponto simétrico de A2 em relação à reta determinada por O e B1. Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém-se o triângulo ∆A3B3. Assim, sucessivamente, pode-se construir uma sequência de triângulo ∆AnOBn tais que, para todo n≥1, An é o ponto médio de An-1Bn-1, e Bn, o ponto simétrico de An em relação à reta determinada por O e Bn-1, conforme a figura. Denotando por an, para n≥1, o comprimento do segmento An-1An, verifique que a1, a2, a3, ... é uma progressão geométrica. Determine sua razão.

c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal A0A1A1....An, n ≥ 1.

O ponto P’ é simétrico ao ponto P em relação à reta r se o segmento PP’ é perpendicular à reta r e a intersecção de PP’ e r é o ponto médio de PP’.


Solução:

a)
O comprimento do segmento OB1 é igual à altura do triângulo eqüilátero A0OB0. Portanto,



b)



Seja q a razão do PG (progressão geométrica), então:



c)

O comprimento da linha poligonal é a soma dos n primeiros termos da PG definido no item anterior. Portanto, temos:




Ex-30 (FUVEST 2016)
São dadas três circunferências de raio r, duas a duas tangentes. Os pontos de tangências são P1, P2 e P3.


Calcule, em função de r.

a) o comprimento do lado do triângulo eqüilátero T determinado pelas três retas que são definidas pela seguinte exigência: cada uma delas é tangente a duas das circunferências e não intersecta a terceira.

b) a área do hexágono não convexo cujos lados são os segmentos ligando cada ponto P1, P2 e P3 aos dois vértices do triângulo T mais próximos a ele.


Solução:



a)
Pela figura temos:




b)
Seja S representação de área, então, pela figura, temos:



Logo, a área do hexágono não convexo AP1BP2CP3 é: